Question

已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．当时，若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求实数b取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；
（Ⅱ）利用导数求出f（x）的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间[1，2]上的最大值，然后解不等式求参数．
解答：解：（Ⅰ），
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
（1）当a=0时，h（x）=-x+1（x＞0），
当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
（2）当a≠0时，由f′（x）=0，即ax²-x+1-a=0，解得．
当时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；
当时，，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
当a＜0时，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增；
当时x₁=x₂，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
当时，函数f（x）在（0，1）单调递减，单调递增，单调递减．

（Ⅱ）当时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意x₁∈（0，2），
有，
又已知存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），所以，x₂∈[1，2]，（※）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]
当b＜1时，g（x）_min=g（1）=5-2b＞0与（※）矛盾；
当b∈[1，2]时，g（x）_min=g（b）=4-b²≥0也与（※）矛盾；
当b＞2时，．
综上，实数b的取值范围是．
点评：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力．