Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线与轴平行.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求函数的最小值；

（Ⅲ）求证：存在，当时， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最小值为．（Ⅲ）详见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，所以，得．；

（Ⅱ），令，得，列表求得函数的最小值

（Ⅲ）显然，且，分析可知， 存在两个零点，分别为， ．且在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，

所以是极大值， 是极小值，由题可得，进而，

因此时， ．　因为且在上单调递增，

所以一定存在满足，所以存在，当时， .

试题解析：（Ⅰ） ，

由已知可得，所以，得．

（Ⅱ），令，得，

所以， ， 的变化情况如表所示：

		极小值

所以的最小值为．

（Ⅲ）证明：显然，且，

由（Ⅱ）知， 在上单调递减，在上单调递增．

又， ，

由零点存在性定理，存在唯一实数，满足，

即， ，

综上， 存在两个零点，分别为， ．

所以时， ，即， 在上单调递增；

时， ，即， 在上单调递减；

时， ，即， 在上单调递增，

所以是极大值， 是极小值，

，

因为， ，

所以，所以，

因此时， ．　

因为且在上单调递增，

所以一定存在满足，

所以存在，当时， .