Question

已知函数f（x）=x²-ax，g（x）=lnx．
（Ⅰ）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x₁，x₂，且x1∈(0，

1

2

)，证明：h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数解析式求出函数的定义域，将f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，转化为x²-ax≥lnx对x∈（0，+∞）恒成立，利用参变量分离法可得a≤x-

lnx

x

对x∈（0，+∞）恒成立，令φ（x）=x-

lnx

x

，即a≤φ（x）_min，利用导数求出φ（x）的最小值，即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）求出h′（x），根据h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x₁，x₂，可以确定x₁，x₂为h′（x）=0的两个根，从而得到x₁x₂=

1

2

，可以确定x₂＞1，求解h（x₁）-h（x₂），构造函数u（x）=x²-

1

4x2

-ln2x²，x≥1，利用导数研究u（x）的取值范围，从而可以证得h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-ax，g（x）=lnx，
∴f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x＞0}，
∴f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，即为x²-ax≥lnx对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤x-

lnx

x

对x∈（0，+∞）恒成立，
设φ（x）=x-

lnx

x

，则a≤φ（x）_min，
∴φ′（x）=

x2+lnx-1

x2

，
∵当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，φ（x）_min=φ（1）=1，
∴实数a的取值范围为（-∞，1]；
（Ⅱ）∵h（x）=f（x）+g（x）=x²-ax+lnx，
∴h′（x）=

2x2-ax+1

x

，（x＞0），
∵h（x）=f（x）+g（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴x₁，x₂为h′（x）=0的两个根，即2x²-ax+1=0的两个根，
∴x₁x₂=

1

2

，
∵x1∈(0，

1

2

)，
∴x₂∈（1，+∞），且ax_i=2

x

2 i

+1（i=1，2），
∴h（x₁）-h（x₂）=（

x

2 1

-ax₁+lnx₁）-（

x

2 2

-ax₂+lnx₂）
=（-

x

2 1

-1+lnx₁）-（-

x

2 2

-1+lnx₂）
=

x

2 2

-

x

2 1

+ln

x1

x2

=

x

2 2

-

1

4 x 2 2

-ln2

x

2 2

，（x₂＞1），
设u（x）=x²-

1

4x2

-ln2x²，x≥1，
∴u′（x）=

(2x2-1)2

2x3

≥0，
∴u（x）＞u（1）=

3

4

-ln2，
∴h(x1)-h(x2)＞

3

4

-ln2．

点评：本题考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，函数在某点取得极值的条件．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．属于中档题．