Question

3．已知非零向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$²x²+2（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）x+1，若方程f（x）=0有两个相等的实根，|$\overrightarrow{b}$|=2，求向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角．

Answer 1

分析 由二次方程有两相等实根的条件：判别式为0，运用向量的数量积的性质，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 解：方程f（x）=0有两个相等的实根，
即$\overrightarrow{a}$²x²+2（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）x+1=0有两个相等的实根，
则判别式为4（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²-4$\overrightarrow{a}$²=0，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=±|$\overrightarrow{a}$|，
则cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{±|\overrightarrow{a}|}{2|\overrightarrow{a}|}$=$±\frac{1}{2}$，
即有向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为60°或120°．

点评 本题考查向量的夹角的求法，考查向量的数量积的性质，同时考查二次方程实根的判断，属于中档题．