Question

1．已知函数y=a²+2ax+2在-3≤x≤2上有最小值1，则a=3$+\sqrt{2}$，3$-\sqrt{2}$，-2$-\sqrt{3}$，或-2$+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要判断原函数是否为一次函数，从而讨论a=0或a≠0：a=0时，容易判断不符合条件，从而a≠0，这时原函数便为一次函数，根据一次函数的单调性求其在[-3，2]上的最小值，从而可建立关于a的方程，解方程即可得出a的值．

解答 解：①a=0，y=2，不符合条件；
②a＞0时，原函数在[-3，2]上单调递增；
∴x=-3时，取到最小值为a²-6a+2=1；
解得$a=3±2\sqrt{2}$；
③a＜0时，原函数在[-3，2]上单调递减；
∴x=2时，取到最小值为a²+4a+2=1；
解得$a=±-2±\sqrt{3}$；
∴a的值为$3+\sqrt{2}$，$，3-\sqrt{2}$，$-2-\sqrt{3}$，或$-2+\sqrt{3}$．
故答案为：$3+\sqrt{2}，3-\sqrt{2}，-2-\sqrt{3}$，或$-2+\sqrt{3}$．

点评 考查函数最值的概念，一次函数的单调性，以及根据单调性求最值，解一元二次方程．