Question

已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2．

(1)判断函数f(x)的奇偶性．

(2)当x∈[－3，3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 　　∴f(0)＝f(0)＋f(0)f(0)＝0． 　　而0＝x－x，因此0＝f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x)， 　　即f(x)＋f(－x)＝0f(－x)＝－f(x)． 　　∴函数f(x)为奇函数． 　　(2)设x1＜x2，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，知 　　f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，∵x1＜x2，∴x2－x1＞0． 　　又当x＞0时，f(x)＜0， 　　∴f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0．∴f(x2)＜f(x1)．∴f(x1)＞f(x2)． 　　∴函数f(x)是定义域上的减函数，当x∈[－3，3]时，函数f(x)有最值． 　　当x＝－3时，函数有最大值f(－3)；当x＝3时，函数有最小值f(3)． 　　f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6． 　　∴当x＝－3时，函数有最大值6；当x＝3时，函数有最小值－6．

提示：

本题中的函数f(x)是抽象函数，则用定义法判断它的奇偶性和单调性．(1)首先利用赋值法求得f(0)，再利用定义法判断f(x)的奇偶性；(2)利用定义法判断函数f(x)在[－3，3]内的单调性，利用单调法求出最值．