题目内容

已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A（0，2），离心率为
2
2
，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线 x-2y-2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）依题意得
b=2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
，解得
a=2
2
b=2
c=2
，
所以所求的椭圆方程为
x2
8
+
y2
4
=1；
（Ⅱ）假设存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆后的右焦点F且与直线x-2y-2=0相切，
因为以AM为直径的圆C过点F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又kAF=
2-0
0-2
=-1，所以直线MF的方程为y=x-2，
由
y=x-2
x2
8
+
y2
4
=1
消去y，得3x2-8x=0，解得x=0或x=
8
3
，
所以M（0，-2）或M（
8
3
，
2
3
），
（1）当M为（0，-2）时，以AM为直径的圆C为：x2+y2=4，
则圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d=
|0-2×0-2|
12+(-2)2
=
2
5
5
≠
2
5
3
，
所以圆C与直线x-2y-2=0不相切；
（2）当M为（
8
3
，
2
3
）时，以AM为直径的圆心C为（
4
3
，
4
3
），半径为r=
1
2
|AM|=
1
2
(
8
3
)2+(
2
3
-2)2
=
2
5
3
，
所以圆心C到直线x-2y-2=0的距离为d=
|
4
3
-
8
3
-2|
5
=
2
5
3
=r，
所以圆心C与直线x-2y-2=0相切，此时kAF=
2
3
-2
8
3
-0
=-
1
2
，所以直线l的方程为y=-
1
2
x+2，即x+2y-4=0，
综上所述，存在满足条件的直线l，其方程为x+2y-4=0．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），P为椭圆C上任意一点，且cos∠F1PF2的最小值为
1
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）动圆x2+y2=t2（
2
＜t＜
3
）与椭圆C相交于A、B、C、D四点，当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)，直线（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒过的定点F为椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到焦点F的最大距离为3，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN为垂直于x轴的动弦，且M、N均在椭圆C上，定点T（4，0），直线MF与直线NT交于点S．求证：
    ①点S恒在椭圆C上；
    ②求△MST面积的最大值．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，离心率为
1
2
，F1，F2分别为其左右焦点，椭圆上点P到F1与F2距离之和为4，
（1）求椭圆C1方程．
（2）若一动圆过F2且与直线x=-1相切，求动圆圆心轨迹C方程．
（3）在（2）轨迹C上有两点M，N，椭圆C1上有两点P，Q，满足
MF2
与
NF2
共线，
PF2
与
QF2
共线，且
PF2
•
MF2
=0，求四边形PMQN面积最小值．
已知椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），长轴两端点A、B，短轴上端顶点为M，点O为坐标原点，F为椭圆的右焦点，且
AF
•
FB
=1，|OF|=1．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆于P、Q两点，问：是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
3
，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
（I）求椭圆C1的方程；
（II）直线l1过椭圆C1的左焦点F1，且与x轴垂直，动直线l2垂直于直线l2，垂足为点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
（III）设C2上的两个不同点R、S满足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范围（O为坐标原点）．

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