Question

如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，

(1)试证：A1、G、C三点共线；

(2)试证：A1C⊥平面BC1D；

 

Answer 1

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)＝＋＋＝＋＋，

可以证明：＝(＋＋)＝，

∴∥，即A1、G、C三点共线．

(2)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∵＝a＋b＋c，＝c－a，

∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，

∴⊥，即CA1⊥BC1，

同理可证：CA1⊥BD，因此A1C⊥平面BC1D.