Question

【题目】如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，证明BD⊥A1C即可求解；（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，得∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，求平面的法向量，再由线面角的向量公式求解即可

（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，

因为四边形ABCD为菱形，

所以AC⊥BD，

从而OA1⊥BD，OC⊥BD，

又因为OA1∩OC＝O，

所以BD⊥平面A1OC，

因为A1C平面A1OC，

所以BD⊥A1C，

所以异面直线A1C与BD所成角的大小为90°．

（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，所以∠A1OC＝60°．

以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则

B(4，0，0)，D(－4，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，2，6)，E(0，3，3)．

所以＝(－4，3，3)，＝(4，2，6)，＝(4，4，0)．

设平面A1DC的法向量为＝(x，y，z)，

则即

取x＝3，则＝(3，－，－1)，设直线BE与平面A1DC所成角为

sin＝，

所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为．