Question

已知数列{

an

pn-1

}的前n项和S_n=n²+2n（其中常数p＞0），数列{a_n}的前n项和为T_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求T_n的表达式；
（Ⅲ）若对任意n∈N^*，都有(1-p)Tn+pan≥2pn恒成立，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n-S_n-1可得数列{

an

pn-1

}的通项公式，从而得a_n；
（Ⅱ）由通项a_n写出前n项和T_n的表达式并计算结果；
（III）讨论p=1时，p≠1时，不等式是否成立．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，

an

pn-1

=S_n-S_n-1=2n+1，得a_n=（2n+1）p^n-1；
又因为n=1也满足上式，所以a_n=（2n+1）p^n-1；
（Ⅱ）∵T_n=3+5p+7p²+…+（2n+1）p^n-1，
①当p=1时，T_n=3+5+7+…+（2n+1）=n²+2n；
②当p≠1时，由T_n=3+5p+7p²+…+（2n+1）p^n-1得
pT_n=3p+5p²+7p³+…+（2n-1）p^n-1+（2n+1）pⁿ，
∴（1-p）T_n=3+2（p+p²+p³+…+p^n-1）-（2n+1）pⁿ，
∴T_n=

3

1-p

+

2p(1-pn-1)

(1-p)2

-

1

1-p

（2n+1）pⁿ．
综上，当p=1时，T_n=n²+2n；
当p≠1时，T_n=

3

1-p

+

2p(1-pn-1)

(1-p)2

-

1

1-p

（2n+1）pⁿ．
（ III）①当p=1时，显然对任意n∈N^*，都有（1-p）T_n+pa_n≥2pⁿ恒成立；
②当p≠1时，可转化为对任意n∈N^*，都有3+

2p(1-pn-1)

1-p

≥2pⁿ恒成立．
即对任意n∈N^*，都有

3-p

1-p

≥

4-2p

1-p

pⁿ恒成立．
当0＜p＜1时，只要

3-p

4-2p

≥p成立，解得：0＜p＜1；
当1＜p＜2时，只要

3-p

4-2p

≤pⁿ 对任意n∈N^*恒成立，
只要有

3-p

4-2p

≤pⁿ对任意n∈N^*恒成立，
只要有

3-p

4-2p

≤p成立，解得：1＜p≤

3

2

；
当p≥2时，不等式不成立．
综上，实数p的取值范围为（0，

3

2

]．

点评：本题考查了等差、等比数列的综合应用以及数列与不等式的综合应用问题，其中（Ⅰ）是基础题，（Ⅱ）是中档题，（Ⅲ）是难题．