Question

【题目】一幅标准的三角板如图1中，为直角，，为直角，，且，把与拼齐使两块三角板不共面，连结如图2.

（1）若是的中点，是的中点，求证：平面；

（2）在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图2中，三棱锥的体积为2，则图2是否为鳖臑？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）是鳖臑，详见解析.

【解析】

（1）设中点为，连结，，可证、，从而得到平面.

（2）先求出，再根据体积可得到平面的距离为，结合可得平面，从而可证四个面均为直角三角形.

（1）证明：设中点为，连结，.

∵是的中点，是的中点，∴，

∵，∴，

∵，，，

∴，

∵，

∴平面.

（2）此时三棱锥是鳖臑，

∵，，

又三棱锥的体积，故高.

又∵，所以平面，因为平面，

所以，所以是直角.

同理，.

∵，，，所以平面，

因为平面，故也是直角.

又，显然是直角，故图2是鳖臑.