Question

等比数列{a_n}，a_n＞0，它的前k项和S_k=80，a₁，a₂，a₃，…，a_k中最大的一项是54，且前2k项的和S_2k=6560．
求：（1）数列的通项a_n=f（n）；
（2）

lim

n→∞

an

Sn

．

Answer 1

分析：（1）通过等比数列{a_n}，a_n＞0，它的前k项和S_k=80，a₁，a₂，a₃，…，a_k中最大的一项是54，且前2k项的和S_2k=6560，得到方程组，求出q，a₁推出数列的通项a_n=f（n）；
（2）利用（1）求出数列的前n项和，然后直接求

lim

n→∞

an

Sn

．

解答：解：（1）由题意可知q＞1，所以a₁，a₂，a₃，…，a_k中最大项是a_k，a_k=a₁•q^k-1=54…..（3分）

S2k= a1-a1q2k 1-q Sk= a1-a1qk 1-q

 即

a1-a1q2k 1-q =6560 a1-a1qk 1-q =80 a1qk-1=54

解方程组得到q=3，a₁=2，a_n=2•3^n-1；…（8分）
（2）Sn=a1+a2+a3+…+an=

2(1-3n)

1-3

=3n-1，…．（10分）

lim

n→∞

an

Sn

=

lim

n→∞

2×3n-1

3n-1

=

2

3

…．（12分）

点评：本题是中档题，考查等比数列的前n项和与通项公式的应用，考查函数与方程的思想，计算能力．