题目内容
已知点A（-1，0），B（0，1），点P（x，y）为直线y=x-1上的一个动点．
（Ⅰ）求证：∠APB恒为锐角；
（Ⅱ）若四边形ABPQ为菱形，求
•
的值．
（Ⅰ）求证：∠APB恒为锐角；
（Ⅱ）若四边形ABPQ为菱形，求
| BQ |
| AQ |
分析：（I）只要证明
•
＞0且A，P，B三点不在一条直线上即可；
（II）利用菱形的定义可求得点P，Q的坐标，进而得出．
| PA |
| PB |
（II）利用菱形的定义可求得点P，Q的坐标，进而得出．
解答：解：（Ⅰ）∵点P（x，y）在直线y=x-1上，
∴可得点P（x，x-1）．
∴
=（-1-x，1-x），
=（-x，2-x）．
∴
•
=-x（-1-x）+（1-x）（2-x）=2x2-2x+2=2(x-
)2+
＞0，
∴cos∠APB＞0．
若A，P，B三点在一条直线上，则
∥
，
得到（x+1）（x-2）-x（x-1）=0，此方程无解，
∴∠APB≠0．
∴∠APB恒为锐角．
（Ⅱ）∵四边形ABPQ为菱形，
∴|
|=|
|，即
=
，
化简得到x2-2x+1=0，
解得x=1，得到P（1，0）．
设Q（a，b），
∵
=
，
∴（a-1，b）=（-1，-1），
∴
，
解得a=0，b=-1．
∴
•
=（0，-2）•（1，-1）=0+2=2．
∴可得点P（x，x-1）．
∴
| PA |
| PB |
∴
| PA |
| PB |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴cos∠APB＞0．
若A，P，B三点在一条直线上，则
| PA |
| PB |
得到（x+1）（x-2）-x（x-1）=0，此方程无解，
∴∠APB≠0．
∴∠APB恒为锐角．
（Ⅱ）∵四边形ABPQ为菱形，
∴|
| AB |
| BP |
| 2 |
| x2+(x-2)2 |
化简得到x2-2x+1=0，
解得x=1，得到P（1，0）．
设Q（a，b），
∵
| PQ |
| BA |
∴（a-1，b）=（-1，-1），
∴
|
解得a=0，b=-1．
∴
| BQ |
| AQ |
点评：本题考查了向量的夹角公式、菱形的定义与性质，属于中档题．
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