题目内容

（2006•朝阳区一模）过双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为（　　）
分析：由双曲线的标准方程可得右焦点F，渐近线方程，利用中点坐标公式和相互垂直的直线的斜率之间的关系即可得出．
解答：解：如图所示．
取右焦点F（c，0），渐近线y=
b
a
x．
∵FM⊥OM，∴可得直线FM的方程为y=-
a
b
(x-c)，
令x=0，解得y=
ac
b
，∴E(0，
ac
b
)．
∴线段FE的中点M(
c
2
，
ac
2b
)，
又中点M在渐近线y=
b
a
x上，∴
ac
2b
=
b
a
×
c
2
，解得a=b．
∴该双曲线的离心率e=
c
a
=
1+
b2
a2
=
2
．
故选D．
点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、中点坐标公式和相互垂直的直线的斜率之间的关系等是解题的关键．
练习册系列答案
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（2006•朝阳区一模）已知向量
a
=（2，3），
b
=（1，2），且(
a
+λ
b
)⊥(
a
-
b
)，则λ等于（　　）
（2006•朝阳区一模）设复数z1=1+i，z2=2-3i，则z1•z2等于
5-i
5-i
．
（2006•朝阳区一模）已知函数f(x)=
ax
x2+b
，在x=1处取得极值为2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上为增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若P（x0，y0）为f(x)=
ax
x2+b
图象上的任意一点，直线l与f(x)=
ax
x2+b
的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围．
（2006•朝阳区一模）设函数f（x）=ax3+cx（a，c∈R），当x=1时，f（x）取极小值-
2
3
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x1，x2∈[-1，1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤
4
3
．
（2006•朝阳区一模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），中心在坐标原点O，一条准线的方程是x=1，过椭圆的左焦点F，且方向向量为
a
=（1，1）的直线l交椭圆于A、B两点，AB的中点为M．
（Ⅰ）求直线OM的斜率（用a、b表示）；
（Ⅱ）直线AB与OM的夹角为α，当tanα=2时，求椭圆的方程；
（Ⅲ）当A、B两点分别位于第一、三象限时，求椭圆短轴长的取值范围．

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