Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点，，分别为椭圆的右顶点，上顶点和右焦点，且．

（1）求椭圆的方程；

（2），是椭圆上的两个动点，若直线与直线的斜率之和为，证明，直线恒过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

(1)由题意可列出方程组,解出,即可得椭圆方程;

(2)设直线方程为,联立,利用韦达定理和直线斜率公式,列式化简,即可得出答案.

(1)由题意得①,

又∵②,

且③,

由①②③可得,,,

∴椭圆的方程为.

(2)设,,

若,则直线与直线的斜率之和等于,与题意不符,

∴可设直线方程为,

由,消去,可得,

∴,

化简得,

由韦达定理可得,,

又由题意可得,即,

∴,

即,

化简可得,∴或,

当时,直线的方程为,恒过定点,

经检验,不合题意,舍去;

当时,直线的方程为,恒过定点.

综上所述,直线恒过定点.