题目内容

给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点.

(1)设l的斜率为1，求与夹角的大小；

(2)设=λ,若λ∈［4，9］,求l在y轴上截距的变化范围.

思路解析：(1)设出A、B的坐标，结合韦达定理求出·及模，可求；(2)由于A、B是直线与抛物线的交点，将l的截距用λ表示，利用函数在区间上的单调性可求.

解：(1)C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，可得l的方程y=x-1.

将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，

·=（x1，y1）·（x2，y2）=x1x2+y1y2=2x1x2-（x1+x2）+1=-3.

||·||=·

==.

cos〈，〉==-.

所以与夹角的大小为π-arccos.

(2)由题设=λ得（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），

即

由(2),得y22=λ2y12.(3)y12=4x1,y22=4x2,∴x2=λ2x1.

联立(1)、(3)解得x2=λ，依题意有λ＞0.

∴B(λ,2),或B(λ,-2),又F(1,0),得直线l方程为(λ-1)y=2(x-1)或(λ-1)y=-2(x-1).

当λ∈［4,9］时,l在y轴上的截距为或,由=+,

可知在［4,9］上是递减的,

∴≤≤,-≤-≤-.

直线l在y轴上截距的变化范围为:［-,-］∪［,］.


练习册系列答案
相关题目
给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，记O为坐标原点．
（1）求
OA
•
OB
的值；
（2）设
AF
=λ
FB
，当三角形OAB的面积S∈[2，
5
]时，求λ的取值范围．
给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求
OA
与
OB
夹角的大小；
（Ⅱ）设
FB
=λ
AF
，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．
给定抛物线C：y2=4x，F是其焦点，过F的直线l：y=k（x-1），它与C相交于A、B两点．如果
FB
=λ
AF
且λ∈[
1
16
，
1
4
]．那么k的变化范围是（　　）
A、[
8
15
，
4
3
]
B、[-
4
3
，-
8
15
]
C、[
8
15
，
4
3
]∪[-
4
3
，-
8
15
]
D、（-∞，-
4
3
]∪[
8
15
，+∞）
给定抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（Ⅱ）设|FA|=2|BF|，求直线l的方程．

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