Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（Ⅱ）设|FA|=2|BF|，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设A，B两点坐标，联立中心与抛物线组成方程组，求得AB的中点坐标，求出AB的长，然后求以AB为直径的圆的方程；还可以转化为焦半径公式解答本题．
（Ⅱ）设出A、B坐标，利用|FA|=2|BF|，转化为向量共线关系，以及A、B在直线和抛物线上，求出A、B坐标然后求直线l的方程，也可以转化为直线与抛物线由交点，利用韦达定理，向量共线关系，求出直线的斜率，和一个点的坐标即可求直线方程．

解答：解：方法一：（Ⅰ）由题意，得F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
由

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M的坐标为M（x₀，y₀），
则x1=3+2

2

， x2=3-2

2

， y1=x1-1=2+2

2

， y2=x2-1=2-2

2

，
故点A(3+2

2

，2+2

2

)， B(3-2

2

，2-2

2

)， （3分）
所以x0=

x1+x2

2

=3， y0=x0-1=2，
故圆心为M（3，2），直径|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=8，
所以以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16；（6分）
（Ⅱ）因为|FA|=2|BF|，三点A，F，B共线且点A，B在点F两侧，
所以

FA

=2

BF

，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

FA

=(x1-1，y1)， 

BF

=(1-x2，-y2)，
所以

x1-1=2(1-x2) y1=-2y2.

因为点A，B在抛物线C上，
所以y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，\o\ac(○，2)（10分）
由\o\ac(○，1)\o\ac(○，2)，解得

x1=2 y1=2 2 x2= 1 2 y2=- 2 .

  或

x1=2 y1=-2 2 x2= 1 2 y2= 2 .

所以A(2，2

2

)， B(

1

2

，-

2

)， 或 A(2，-2

2

)， B(

1

2

，

2

)，（13分）
故直线l的方程为2

2

x-y-2

2

=0，或2

2

x+y-2

2

=0．（14分）
方法二：（Ⅰ）由题意，得F（1，0），直线l的方程为y=x-1．
由

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点M的坐标为M（x₀，y₀），
因为△=6²-4=32＞0，所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
所以x0=

x1+x2

2

=3， y0=x0-1=2，故圆心为M（3，2），（3分）
由抛物线定义，得|AB|=|AF|+|BF|=(x1+

p

2

)+(x2+

p

2

)=x1+x2+p=8，
所以|AB|=x₁+x₂+p=8（其中p=2）．
所以以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16；（6分）
（Ⅱ）因为|FA|=2|BF|，三点A，F，B共线且点A，B在点F两侧，
所以

FA

=2

BF

，
设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

FA

=(x1-1，y1)， 

BF

=(1-x2，-y2)，
所以

x1-1=2(1-x2) y1=-2y2.

…①（（9分））
设直线AB的方程为y=k（x-1）或x=1（不符合题意，舍去）．
由

y=k(x-1) y2=4x

，消去x得ky²-4y-4k=0，
因为直线l与C相交于A，B两点，所以k≠0，
则△=16+16k²＞0，y1+y2=

4

k

， y1y2=-4，…②
由①②，得方程组

y1+y2= 4 k y1y2=-4 y1=-2y2

，解得

k=-2 2 y1=-2 2 y2= 2

或

k=2 2 y1=2 2 y2=- 2

（13分）
故直线l的方程为2

2

x-y-2

2

=0，或2

2

x+y-2

2

=0．（14分）

点评：本题考查圆的方程，直线和圆的方程的应用，考查转化思想，函数与方程的思想，是中档题．