Question

将数列{a_n}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀），…每一组的第1个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足S_n+1（S_n+2）=S_n（2-S_n+1），n∈N^*，
（I）求证：数列{}成等差数列，并求出数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若从第2组起，每一组中的数自左向右均构成等比数列，且公比q为同一个正数，当a₁₈=-时，求公比q的值；   
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记每组中最后一数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成的数列为{c_n}，设d_n=n²（n-1）•c_n，求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）证明：由s_n+1（s_n+2）=s_n（2-s_n+1），整理可得，可求s_n，进而可求a_n
（II）由1+2+…+5=15，可得第1行至第5行共含有数列{a_n}的前15项，从而可求q
（III）由题意可得，每组中的数据依次构成以b_n为首项，2为公比的等比数列，从而可求c_n，进而可求d_n，在利用错位相减法求解数列的和
解答：解：（I）证明：由s_n+1（s_n+2）=s_n（2-s_n+1）
得s_n-s_n+1=s_ns_n+1
所以
又s₁=b₁=a₁=1
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列
所以，即
所以
（II）解：因为1+2+…+5=15
所以第1行至第5行共含有数列{a_n}的15项
故a₁₈在表中第6行第三列．（12分）
所以，a₁₈==，（13分）
所以q=2．（14分
（III）因为从第2组起，每组中的数据依次构成以b_n为首项，2为公比的等比数列
所以（n≥2，n∈N^*）
即
于是n≥2当时那么相减得，T_n=0+（-2）×2+（-3）×2²+…+（-n）•2^n-1
-T_n=0+2×2+3×2²+…+n•2^n-1
-2T_n=2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
相减可得，T_n=2×2+2²+2³+…+2^n-1-n•2^n-1=（1-n）•2ⁿ
点评：本题主要考查了利用构造等差数列求解数列的通项公式及错位相减求数列的和，解题的关键在于由条件进行构造及错位相减的方法的灵活应用．