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精英家教网将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表:
记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…,构成的数列为{bn},b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前n项和,且满足
2bn
bnSn-
S
2
n
=1(n≥2)

(1)求证数列{
1
Sn
}
成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(2)上表中,若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列,且公比q为正数,求当a81=-
4
91
时,公比q的值.
分析:(1)由
2bn
bnSn-
S
2
n
=1
,知
2(Sn-Sn-1)
-Sn-1Sn
=1
,所以
1
Sn
-
1
Sn-1
=
1
2
,由此能够推导出数列{bn}的通项公式.
(2)因为1+2+3+…+12=
12×13
2
=78
,所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,故a81在表中第13行第三列,由此能求出当a81=-
4
91
时,公比q的值.
解答:解:(1)由已知,当n≥2时,
2bn
bnSn-
S
2
n
=1
,又bn=Sn-Sn-1,(1分)
所以
2(Sn-Sn-1)
(Sn-Sn-1)Sn-
S
2
n
=1
.(2分)
2(Sn-Sn-1)
-Sn-1Sn
=1
,所以
1
Sn
-
1
Sn-1
=
1
2
,(4分)
又S1=b1=a1=1,所以数列{
1
Sn
}
是首项为1,公差为
1
2
的等差数列.(5分)
所以
1
Sn
=
1
S1
+
1
2
(n-1)=
n+1
2
,即Sn=
2
n+1
.(7分)
所以,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=
2
n+1
-
2
n-1+1
=-
2
n(n+1)
,(9分)
因此bn=
1(n=1)
-
2
n(n+1)
(n≥2).
(10分)
(2)因为1+2+3+…+12=
12×13
2
=78

所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,故a81在表中第13行第三列.(12分)
所以,a81=b13q2=-
4
91
,(13分)
b13=-
2
13×14
,所以q=2.(14分)
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要灵活运用数列通项公式的求解方法,合理地利用递推公式,仔细审题,认真解答.
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