题目内容
将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下表:记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…,构成的数列为{bn},b1=a1=1,Sn为数列{bn}的前n项和,且满足
2bn | ||
bnSn-
|
(1)求证数列{
1 |
Sn |
(2)上表中,若a81项所在行的数按从左到右的顺序构成等比数列,且公比q为正数,求当a81=-
4 |
91 |
分析:(1)由
=1,知
=1,所以
-
=
,由此能够推导出数列{bn}的通项公式.
(2)因为1+2+3+…+12=
=78,所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,故a81在表中第13行第三列,由此能求出当a81=-
时,公比q的值.
2bn | ||
bnSn-
|
2(Sn-Sn-1) |
-Sn-1Sn |
1 |
Sn |
1 |
Sn-1 |
1 |
2 |
(2)因为1+2+3+…+12=
12×13 |
2 |
4 |
91 |
解答:解:(1)由已知,当n≥2时,
=1,又bn=Sn-Sn-1,(1分)
所以
=1.(2分)
即
=1,所以
-
=
,(4分)
又S1=b1=a1=1,所以数列{
}是首项为1,公差为
的等差数列.(5分)
所以
=
+
(n-1)=
,即Sn=
.(7分)
所以,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=
-
=-
,(9分)
因此bn=
(10分)
(2)因为1+2+3+…+12=
=78,
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,故a81在表中第13行第三列.(12分)
所以,a81=b13q2=-
,(13分)
又b13=-
,所以q=2.(14分)
2bn | ||
bnSn-
|
所以
2(Sn-Sn-1) | ||
(Sn-Sn-1)Sn-
|
即
2(Sn-Sn-1) |
-Sn-1Sn |
1 |
Sn |
1 |
Sn-1 |
1 |
2 |
又S1=b1=a1=1,所以数列{
1 |
Sn |
1 |
2 |
所以
1 |
Sn |
1 |
S1 |
1 |
2 |
n+1 |
2 |
2 |
n+1 |
所以,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=
2 |
n+1 |
2 |
n-1+1 |
2 |
n(n+1) |
因此bn=
|
(2)因为1+2+3+…+12=
12×13 |
2 |
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,故a81在表中第13行第三列.(12分)
所以,a81=b13q2=-
4 |
91 |
又b13=-
2 |
13×14 |
点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要灵活运用数列通项公式的求解方法,合理地利用递推公式,仔细审题,认真解答.
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