Question

3．试在数轴上表示出不等式的解．
（1）x（x²-1）＞0；
（2）|x-1|＜|x-3|；
（3）$\sqrt{x-1}$-$\sqrt{2x-1}$≥$\sqrt{3x-2}$．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值，从而求出不等式的解集；（3）根据二次根式的意义求出x的范围，从而求出不等式的解集．

解答 解：（1）解不等式：x（x²-1）=x（x-1）（x+1）＞0，
x＜-1时：x+1＜0，x＜0，x-1＜0，不成立，
-1＜x＜0时：x+1＞0，x＜0，x-1＜0，成立，
0＜x＜1时：x+1＞0，x＞0，x-1＜0，不成立，
x＞1时：x+1＞0，x＞0，x-1＞0，成立，
∴不等式的解集是：{x|-1＜x＜0或x＞1}；
将不等式的解集表示在数轴上：
；
（2）解不等式|x-1|＜|x-3|，
x-1≤0即x≤1时：
1-x＜3-x，即1＜3，成立，
1＜x＜3时：x-1＜3-x，解得：1＜x＜2，
x≥3时：x-1＜x-3，即-1＜-3，不成立，
故不等式的解集是：{x|x＜2}，
将不等式的解集表示在数轴上：
；
（3）解不等式：$\sqrt{x-1}$-$\sqrt{2x-1}$≥$\sqrt{3x-2}$，
∵x-1≥0，且2x-1≥0且3x-2≥0，
∴x≥1，
原不等式可化为：
$\sqrt{x-1}$≥$\sqrt{2x-1}$+$\sqrt{3x-2}$，
两边平方得：
x-1≥2x-1+3x-2+2$\sqrt{（2x-1）（3x-2）}$，
∴1-2x≥$\sqrt{（2x-1）（3x-2）}$，
∴1-2x≥0，解得：x≤$\frac{1}{2}$，
∴原不等式无解．

点评 本题考查了解不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．