Question

（16）如图, 在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB=5，AA₁＝4，点D是AB的中点.

（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；

（Ⅱ）求证：AC ₁//平面CDB₁；

（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

（16）

解法一：

（Ⅰ）∵直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，

∴ AC⊥BC₁；

（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，

∵ D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴ DE//AC₁.

∵ DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴ AC₁//平面CDB₁；

（Ⅲ）∵ DE//AC₁，∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角，

在△CED中，ED=AC ₁=，CD=AB=，CE=CB₁=2，

∴cos，

∴ 异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.

解法二：

∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC，BC，C₁C两两垂直。

如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4），

D（，2，0）.

（Ⅰ）∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），

∴·=0，∴AC⊥BC₁.

（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，则E（0，2，2）.

∵=（-，0，2），=（-3，0，4），∴=，∴DE//AC₁.

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，∴AC₁//平面CDB₁.

（Ⅲ）∵=（-3，0，4），=（0，4，4），

∴cos<，>=，

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.