Question

（本小题满分12分）
数列的前n项和为，且（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：（），求数列的通项公式；
（Ⅲ）设（），是否存在实数，使得当时，恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1)
(2) （
(3) 存在实数，使得（）恒成立，且

解：（Ⅰ）当时，，
当时，，知满足该式，
∴数列的通项公式为． 2分
（Ⅱ）   （）  ①
∴（）  ②
①－②得：（）．
∴（），   4分
当时，，，满足上式．
∴数列的通项公式（） 6分
（Ⅲ）存在实数．  7分
，假设存在，使得（）恒成立，
∴，
∴
即， 8分
①当为正偶数时，即恒成立，
∴，
当时，，∴．   10分
②当为正奇数时，恒成立，
∴，
当时，，∴．
综上，存在实数，使得（）恒成立，且．  12分