Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=

2

3

与x=1处都取得极值，则f（x）在区间[0，1]的最小值为

0

．

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由题意列关于a，b的方程组求出a，b的值，代入导函数由导函数的符号确定单调区间，从而得到函数f（x）在区间[0，1]的端点处取得最小值，求出f（0）和f（1）比较大小即可．

解答：解：由f（x）=x³+ax²+bx，得f′（x）=3x²+2ax+b，
因为f（x）在x=

2

3

与x=1处都取得极值，
则

f′( 2 3 )=3×( 2 3 )2+2× 2 3 a+b=0 f′(1)=3×12+2a+b=0

，解得a=-

5

2

，b=2．
所以f′（x）=3x²-5x+2=（x-1）（3x-2）．
当x∈[0，

2

3

）时，f′（x）＞0，原函数为增函数，
当x∈（

2

3

，1]时，f′（x）＜0，原函数为减函数，
而f（0）=0，f（1）=1+a+b=1-

5

2

+2=

1

2

．
所以f（x）在区间[0，1]的最小值为0．
故答案为0．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，是中档题．