已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同.F1.F2为椭圆的左.右焦点．M为椭圆上任意一点.△MF1F2面积的最大值为1．(1)求椭圆C的方程,交椭圆C于A.B两点．①若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等.求证:直线l过定点.并求出该定点的坐标,若直线l的斜率是直线OA.OB斜率的等比中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点相同，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF₁F₂面积的最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．
①若x轴上任意一点到直线AF₂与BF₂距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求△AOB面积的取值范围．

分析（1）由y²=4x焦点为（1，0），则c=1，当点M为椭圆的短轴端点时，△MF₁F₂面积最大，此时$S=\frac{1}{2}×2c×b=1$，a²=b²+c²=2，即可求得椭圆的标准方程；
（2）①将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式求得m=-2k，直线l的方程为y=k（x-2），因此直线l恒过定点，该定点坐标为（2，0）．②直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，${k_{OA}}•{k_{OB}}={k^2}$，整理可知：$-\frac{{4{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+{m^2}=0$，又m≠0，由弦长公式求得丨AB丨，点O到直线AB的距离为d，则三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得求△AOB面积的取值范围．

解答解：（1）由抛物线的方程y²=4x得其焦点为（1，0），则椭圆中c=1，
当点M为椭圆的短轴端点时，△MF₁F₂面积最大，此时$S=\frac{1}{2}×2c×b=1$，
∴b=1，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，△MF₁F₂面积的最大值为1，
a²=b²+c²=2，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；
（2）联立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=8（2k²-m²+1）＞0，得1+2k²＞m²（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
①${k_1}=\frac{y_1}{{{x_1}-1}}=\frac{{k{x_1}+m}}{{{x_1}-1}}，{k_2}=\frac{y_2}{{{x_2}-1}}=\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}-1}}$，由k₁+k₂=0，得$\frac{{k{x_1}+m}}{{{x_1}-1}}+\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}-1}}=0$，
所以2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，即$2k•\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+（{m-k}）（{-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}}）-2m=0$，得m=-2k，
∴直线l的方程为y=k（x-2），
因此直线l恒过定点，该定点坐标为（2，0）．
②∵直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，
∴${k_{OA}}•{k_{OB}}={k^2}$，即$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}$，得$\frac{{（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}$，得$km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，
∴$-\frac{{4{k^2}{m^2}}}{{1+2{k^2}}}+{m^2}=0$，又m≠0，
∴${k^2}=\frac{1}{2}$，代入（*），得0＜m²＜2．
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{3（{2-{m^2}}）}$．
设点O到直线AB的距离为d，则$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}|m|}}{{\sqrt{3}}}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{AB}|•d=\frac{1}{2}\sqrt{3{{（{2-m}）}^2}}\frac{{\sqrt{2}|m|}}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sqrt{{m^2}（{2-{m^2}}）}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}\sqrt{{{（{\frac{{{m^2}+2-{m^2}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
当且仅当m²=2-m²，即m²=1∈（0，2）时，△AOB面积取最大值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
故△AOB面积的取值范围为$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$．

点评本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，韦达定理，点到直线的距离公式及基本不等式的性质的应用，考查计算能力，属于难题．

	A．	充分不必要条件		B．	必要不充分条件
	C．	既不充分也不必要条件		D．	充要条件

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