Question

【题目】如图所示, 平面,平面平面,四边形为正方形，, ,点在棱上.

(1)若为的中点为的中点,证明:平面平面；

(2)设,是否存在,使得平面平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 不存在,使得平面平面

【解析】

（1）由平面平面可得平面，从而有，结合条件可得四边形为平行四边形，于是，可得平面．又可根据条件得到平面，然后根据面面平行的判定定理可得结论．（2）在中，由余弦定理得，于是，所以，又根据题意可得两两垂直，故可建立空间直角坐标系，根据空间向量的知识求解．

(1)∵平面平面，平面平面，

∴平面.

又平面，

∴，

又 ，

∴四边形为平行四边形，

∴．

又平面 平面，

平面．

，

，

又平面 平面，

平面．

又平面平面，

平面平面．

（2）在中，由余弦定理得

，

，

∴为直角三角形，且，

，

由平面可得，

两两垂直.

以点为坐标原点， 依次为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示，

则．

设面的一个法向量为，

则即

令，解得，

．

设平面的一个法向量为，

则即

令，得，

若平面平面，

则 ，

化简得，

由于，故此方程无解，

所以不存在实数，使得平面平面.