Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面 平面，四边形为正方形，△为等边三角形，是中点，平面与棱交于点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：平面；

（III）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

（Ⅰ）由为正方形，可得．再由线面平行的判定可得平面.．再由面面平行的性质可得；
（Ⅱ）由为正方形，可得．结合面面垂直的性质可得平面．从而得到.．再由已知证得．由线面垂直的判定可得平面；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，利用等积法把用表示，则的值可求．

（I）证明：因为正方形，所以.

因为平面，平面，

所以平面.

因为平面，平面平面，

所以.

（II）证明：因为正方形，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

因为为等边三角形，是中点，

所以.

因为平面，平面，，

所以平面.

（III）解：由（Ⅰ）知，

则

．