Question

在数列{a_n} 中，a₁=0，a_n+1=-a_n+3ⁿ，其中n=1，2，3…．
（I）求数列{a_n}  的通项公式；
（II）求的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）因为从数列{a_n}的递推公式 中，不容易找到规律，可考虑用构造法构造新函数，观察可得，a_n+1-=-（a_n-），所以）数列{a_n-}为等比数列，先求出它的通项公式，继而求数列{a_n}  的通项公式．
（II）由（I）得到的数列{a_n}  的通项公式，可以代入，化简，再根据单调性求极值．
解答：解：（I）由a₁=0，且a_n+1=-a_n+3ⁿ（n=1，2，3，…）
得a₂=-a₁+3=3，a₃=-a₂+3²=6．       
（由a_n+1=-a_n+3ⁿ，变形得a_n+1-=-（a_n-），∴{a_n-}
是首项为a₁-=-公比为-1的等比数列
∴an-=-（-1）^n-1∴an=（n=1，2，3…）     
（II）①当n是偶数时，===+，
∴随n增大而减少，∴当n为偶数时，最大值是．            
②当n是奇数时，===
∴随n增大而增大且=＜＜
综上最大值为．
点评：本题考查了构造法求数列的通项公式，以及利用数列单调性求最值，做题时应认真分析．