Question

已知函数f（x）=x²-cosx，对于[-，]上的任意x₁，x₂，有如下条件：
①x₁＞x₂；②x₁²＞x₂²；③|x₁|＞x₂．
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件序号是     ．

Answer 1

【答案】分析：先研究函数的性质，观察知函数是个偶函数，由于f′（x）=2x+sinx，在[0，]上f′（x）＞0，可推断出函数在y轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使f（x₁）＞f（x₂）恒成立，只需x₁，到原点的距离比x₂，到原点的距离大即可，由此可得出|x₁|＞|x₂|，在所给三个条件中找符合条件的即可．
解答：解：函数f（x）为偶函数，f′（x）=2x+sinx，
当0＜x≤时，0＜sinx≤1，0＜2x≤π，
∴f′（x）＞0，函数f（x）在[0，]上为单调增函数，
由偶函数性质知函数在[-，0]上为减函数．
当x₁²＞x₂²时，得|x₁|＞|x₂|≥0，
∴f（|x₁|）＞f（|x₂|），由函数f（x）在上[-，]为偶函数得f（x₁）＞f（x₂），故②成立．
∵＞-，而f（）=f（），
∴①不成立，同理可知③不成立．故答案是②．
故应填②
点评：本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙．