Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•

1 a 2 n + 4

=1，记S_n=a12+a22+…+an2，若S_n+1-S_n≤

m

30

对任意的n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值为

6

．

Answer 1

分析：根据递推式，可得出数列{

1

an2

}是以1为首项，4为公差的等差数列，从而可得an2=

1

4n-3

，再根据S_n=a12+a22+…+an2，可得S_n+1-S_n=an+12=

1

4n+1

，要使S_n+1-S_n≤

m

30

对任意的n∈N^*恒成立，则

1

5

≤

m

30

，故可求正整数m的最小值．

解答：解：∵a_n+1•

1 a 2 n + 4

=1，
∴

1 a 2 n + 4

=

1

an+1

∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∵a₁=1，
∴

1

a1

=1
∴数列{

1

an2

}是以1为首项，4为公差的等差数列
∴

1

an2

=1+4(n-1)=4n-3
∴an2=

1

4n-3

∵S_n=a12+a22+…+an2，
∴S_n+1-S_n=an+12=

1

4n+1

∵n∈N^*，∴n=1时，an+12的最大值为

1

5

要使S_n+1-S_n≤

m

30

对任意的n∈N^*恒成立，则

1

5

≤

m

30

∴m≥6，∴正整数m的最小值为6
故答案为：6

点评：本题以数列递推式为载体，考查等差数列的通项，考查最值法解决恒成立问题，解题的关键是确定数列{

1

an2

}是以1为首项，4为公差的等差数列，将S_n+1-S_n≤

m

30

对任意的n∈N^*恒成立，转化为

1

5

≤

m

30

，属于中档题．