Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F₁PF₂=60°，则离心率的最小值是

1

2

．

Answer 1

分析：先根据椭圆定义得到|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁，再利用余弦定理得到cos120°=

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，求出 x

2 1

=

4c2-3a2

e2

，利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围．

解答：解：设，P（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，
则|PF₁|=a+ex₁，|PF₂|=a-ex₁．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得cos120°=

1

2

=

(a+ex1)2+(a-ex1)2-4c2

2(a+ex1)(a-ex1)

，
解得 x

2 1

=

4c2-3a2

e2

，∵x₁²∈（0，a²]，
∴0≤

4c2-3a2

e2

＜a²，
即4c²-a²≥0．且e²＜1
∴e=

c

a

≥

1

2

．
故椭圆离心率的取范围是 e∈[

1

2

，1）．
故答案为：

1

2

点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F₁PF₂值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．