Question

如图，已知椭圆的右焦点为F，过F的直线（非x轴）交椭圆于M、N两点，右准线交x轴于点K，左顶点为A。

（Ⅰ）求证：KF平分∠MKN；
（Ⅱ）直线AM、AN分别交准线于点P、Q，设直线 MN的倾斜角为，试用表示线段PQ的长度|PQ|，并求|PQ|的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）证明：作MM₁⊥于M₁，NN₁⊥于N₁，
则，
又由椭圆的第二定义，有，
∴，
∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN。
（Ⅱ）解：由A，M，P三点共线可求出P点的坐标为，
由A，N，Q三点共线可求出Q点坐标为，
设直线MN的方程为，
由，
∴，
则
            ，
又直线MN的倾斜角为，则，
∴，
即当时，。