Question

四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（　　）

• A、

  27

  2

  π
• B、

  9

  2

  π
• C、

  15

  2

  π
• D、15π

Answer 1

分析：根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．

解答：解：底面积不变，高最大时体积最大，所以，面BCD与面ABD垂直时体积最大，
由于四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径
R=

( 3 2 )2+( 2  × 1 3 × 3 2 ×3) 2

=

15

2

；
经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S=4π(

15

2

)2=15π；
故选D．

点评：本题是基础题，考查三棱锥的体积的求法，确定三棱锥体积的最大值以及外接球的球心的位置，是本题解题的关键，考查计算能力．