已知函数y＝2x3-6x2+x.则当△x趋向于0时.极限的最小值为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数y＝2x³－6x²＋x，则当△x趋向于0时，极限的最小值为________。

答案：－5
提示：

∵ 当△x趋向于0时，的极限为6x²－12x＋1，

∴ 当x＝1时，的极限的最小值为－5。

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已知函数f(x)＝2x³＋tx²－3t²x＋，x∈R，其中t∈R．

(Ⅰ)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)当t≠0时，求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)证明：对任意的t∈(0，＋∞)，f(x)在区间(0，1)内均存在零点．

已知函数y＝2x³－6x²＋x，则当△x趋向于0时，

极限的最小值为________。

已知函数y＝2x3－ax＋c在(－∞，＋∞)上是增加的，则

a＜0，且c∈R

a≥0，且c∈R

a＜0，且c＝0

a≤0，且c∈R

已知函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3　∴a＝1, f(x)＝x³－3x

(2)中设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)分离参数∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

然后利用g(x)＝－2x³＋6x²－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2

解：(1)f′(x)＝3ax²＋2bx＋c

依题意

又f′(0)＝－3

∴c＝－3　∴a＝1　∴f(x)＝x³－3x

(2)设切点为(x₀，x₀³－3x₀)，

∵f′(x)＝3x²－3，∴f′(x₀)＝3x₀²－3

∴切线方程为y－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(x－x₀)

又切线过点A(2，m)

∴m－(x₀³－3x₀)＝(3x₀²－3)(2－x₀)

∴m＝－2x₀³＋6x₀²－6

令g(x)＝－2x³＋6x²－6

则g′(x)＝－6x²＋12x＝－6x(x－2)

由g′(x)＝0得x＝0或x＝2

∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．

∴g(x)_极小值＝g(0)＝－6，g(x)_极大值＝g(2)＝2

画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x³＋6x²－6有三解，

所以m的取值范围是(－6,2)．

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