Question

已知简单多面体的顶点数、面数、棱数分别为V、F、E，多面体的各面为正x边形，过同一顶点的面数为y．求证：

1

x

+

1

y

-

1

E

=

1

2

．

Answer 1

分析：在正x边形中有x条棱，因而在F个面中有Fx条棱．每条棱在相邻两面中各算一次，可得Fx=2E，同理Vy=2E，结合V+F-E=2，即可得出结论．

解答：证明：在正x边形中有x条棱，因而在F个面中有Fx条棱．
∵每条棱在相邻两面中各算一次，∴Fx=2E．
同理，各顶点都有y条棱，Vy为多面体总棱数的两倍，∴Vy=2E．
∴F=

2E

x

，V=

2E

y

，
代入V+F-E=2中得

2E

y

+

2E

x

-E=2．
∴

1

x

+

1

y

-

1

E

=

1

2

．

点评：本题考查欧拉定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用V+F-E=2是关键．