Question

如图所示，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AC=∠ACB=

π

2

，∠AA₁C=

π

6

，侧棱BB₁
与底面所成的角为

π

3

，AA₁=4

3

，BC=4．求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V．

Answer 1

分析：如图，在Rt△AA₁C中求出AC，作B₁H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B₁BH=

π

3

，求出B₁H就是棱柱的高，然后求出斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

解答：解：在Rt△AA₁C中，AC=AA₁•tan∠AA₁C=4

3

×

3

3

=4．
作B₁H⊥平面ABC，垂足为H，则∠B₁BH=

π

3

，
在Rt△B₁BH中，B₁H=BB₁•sin∠B₁BH=AA₁•sin

π

3

=4

3

×

3

2

=6．
∴V=S_△ABC•B₁H=

1

2

×4×4×6=48．

点评：本题是基础题，考查斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的求法，求出底面面积，它的高是本题的难点，注意正确分析，仔细体会．