Question

设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x²-2（1-a）x的单调性．

Answer 1

定义域{x|x＞0}
f′（x）=

1

x

+2a(1-a)x-2(1-a)=

2a(1-a)x2-2(1-a)x+1

x

设g（x）=2a（1-a）x²-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，则g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②若a＞1则2a（1-a）＜0，g（x）的图象开口向下，
此时△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）＞0
方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x₁=

2(1-a)+ 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，x₂=

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

且x₁＜0＜x₂
∴在（0，

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数；
③若0＜a＜1则2a（1-a）＞0，g（x）的图象开口向上，
此时△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）
可知当

1

3

≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函数；
当0＜a＜

1

3

时，△＞0，方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根满足

2(1-a)+ 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

＞

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

＞0
故在（0，

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）和（

2(1-a)+ 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（

2(1-a)- 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

，

2(1-a)+ 4(1-a)(1-3a)

4a(1-a)

）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数．