题目内容

设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x²-2（1-a）x的单调性．

解：定义域{x|x＞0}
f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设g（x）=2a（1-a）x²-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞）
①若a=1，则g（x）=1＞0
∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
②若a＞1则2a（1-a）＜0，g（x）的图象开口向下，
此时△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）＞0
方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根为x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$
且x₁＜0＜x₂
∴在（0， $\text{[math]}$ ）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数；
③若0＜a＜1则2a（1-a）＞0，g（x）的图象开口向上，
此时△=[-2（1-a）]²-4×2a（1-a）×1=4（1-a）（1-3a）
可知当 $\text{[math]}$ ≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，
即f'（x）≥0，f（x）是增函数；
当0＜a＜ $\text{[math]}$ 时，△＞0，方程2a（1-a）x²-2（1-a）x+1=0有两个不等的实根
不等的实根满足 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ＞0
故在（0， $\text{[math]}$ ）和（ $\text{[math]}$ ，+∞）上g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）是增函数；
在（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上g（x）＜0，
即f'（x）＜0，f（x）是减函数．
分析：求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1-a）x²-2（1-a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．
点评：本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．