Question

8．已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R，a＜0）有两个零点，其中一个零点在（-2，-1）内，则$\frac{b}{a-1}$的取值范围是（-1，2）．

Answer 1

分析 由题意知，一个根在区间（-2，-1）内，得关于a，b的等式，再利用线性规划的方法求出$\frac{b}{a-1}$的取值范围．

解答 解：由题意得，f（-1）•f（-2）＜0，
∴（a-b+1）（4a-2b+1）＜0．且a＜0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a-b+1＞0}\\{4a+2b-1＜0}\end{array}\right.$
视a，b为变量，作出可行域如图．
$\frac{b}{a-1}$的几何意义是区域内的点（a，b）与（1，0）连线的斜率，
由图可得$\frac{b}{a-1}$∈（-1，2）．
故答案为：（-1，2）．

点评 线性规划的介入，为研究函数的最值或最优解提供了新的方法，借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．