题目内容
设函数y=f(x)(x∈R且x≠0)对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.(1)求证:f(1)=f(-1)=0且f(
)=-f(x)(x≠0);
(2)判断f(x)与f(-x)的关系;
(3)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,解不等式f(
)-f(2x-1)≥0.
(1)证明:令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1)?得f(1)=0.
再令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)得f(-1)=0.
对任意x≠0,有f(x)+f()=f(1)=0,
∴f()=-f(x).
(2)解：对任意x∈R且x≠0,有f(-x)+f(-1)=f(x),
∴f(-x)=f(x).
(3)解：∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(
)=-f(x),则-f(x)-f(2x-1)≥0
f(x)+f(2x-1)≤0,即f［x(2x-1)］≤0
0＜|x(2x-1)|≤1,解得-
≤x≤1且x≠0,x≠
.
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暑假接力赛新疆青少年出版社系列答案
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