Question

【题目】（本小题满分12分）．已知函数在点处的切线方程为．

（1）求的值；

（2）设（为自然对数的底数），求函数在区间上的最大值；

（3）证明：当时，．

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：（1）因为，，则,;（2）首先求出在区间的极值，然后再求出端点的函数值，比较得出最大值.（3）证, 设,根据（2）中的单调性即可得出结论.

试题解析：（1）的定义域为．，，．

由已知得，，且．

（2），．

令，得．

当时，，∴，∴单调递增；

当时，，∴，∴单调递减．

因为，，所以

当，即时，函数在上的最大值为；

②当，即时，函数在上的最大值为．

（3）证明：当时，要证，只需证．①

设，则由（2）可知在上单调递增，在上单调递减，

∴，即，即，当且仅当时等号成立．

令，则，∴①式成立，即不等式成立．