Question

如图，正三棱锥V-ABC的底面边长为a，侧棱与底面所成的角等于θ，过底面一边作棱锥的截面，当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小？并求出最小值．

Answer 1

分析：作VO⊥平面ABC，由正三棱锥的几何特征可得O为△ABC的中心，连接AO并延长交BC于D，则∠DAO=θ，连接VD，PD，由线面垂直及面面垂直的判定定理可得BC⊥平面VAD，进而PDC平面VAD，∠PDA为截面与底面所成角，根据正弦定理我们可以得到PD长的表达式，根据正弦函数的性质求出PD的最小值，即可得到答案．

解答：解：作VO⊥平面ABC，O为垂足，因为V-ABC是正三棱锥，所以O为△ABC的中心，
连接AO并延长交BC于D，则AD⊥BC，∠DAO=θ
连接VD，PD
∴BC⊥VA∴BC⊥平面VAD，进而PDC平面VAD…（4分）
∴PD⊥BC∴∠PDA为截面与底面所成角，设为x，在△PAD中，∠PAD=θ，∠PDA=x，∴∠APD=180°-（θ+π） …（4分）
根据正弦定理得

PD

sinθ

=

AD

sin[180°-(θ+x)]

PD=

3 2 asinθ

sin(θ+x)

=

3 sinθ

2sin(θ+x)

≥

3

2

asinθ（4分）
当且仅当sin（θ+x）=1，θ+x=90°，x=90°-θ的等号成立，∴PD最小
∴S_△PBC最小面积=

1

2

a•

3

2

asinθ=

3

4

a2sinθ

点评：本题考查的点是与二面角有关的立体几何问题，其中根据正弦定理得到PD长的表达式，进而根据正弦函数的性质求出PD的最小值，是解答本题的关键．