Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1．
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2，3）内至少有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间；
（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3ax²+3x+1得f′（x）=3x²-6ax+3
当a=2时，f′（x）=3x²-6ax+3=3x²-12x+3=3（x²-4x+1）
由f′（x）=3（x²-4x+1）＞0得x＞2+

3

或x＜2-

3

；
由f′（x）=3（x²-4x+1）＜0得2-

3

＜x＜2+

3

；
所以f（x）的单调递增区间是(-∞，2-

3

]和[2+

3

，+∞)，f（x）的单调递减区间是[2-

3

，2+

3

]
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=

1

2

（x+

1

x

），
令g（x）=

1

2

（x+

1

x

），求导函数可得g′（x）=

1

2

（1-

1

x2

），
∴g′（x）＞0在（2，3）上恒成立，即g（x）＞0在（2，3）上单调递增，
∴

5

4

＜

1

2

（x+

1

x

）＜

5

3

，
解得

5

4

＜a＜

5

3

，
所以a的取值范围是

5

4

＜a＜

5

3

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．