Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，常数λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n对一切正整数n都成立。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a₁＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？

Answer 1

解（1）当n=1时，
∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，则S_n=0，a_n=S_n-S_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，则，
当n≥2时，2a_n=，
两式相减可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，
从而可得数列{a_n}是等比数列
∴a_n=a₁·2^n-1==
综上可得，当a₁=0时，a_n=0，
当a₁≠0时，。
（2）当a₁＞0且λ=100时，
令
由（1）可知
∴{b_n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=＞0
当n≥7时，
∴数列的前6项和最大。