Question

7．已知在直角坐标系xOy中，设Q（x₁，y₁）是圆x²+y²=2上的一个动点，点P（${{x}_{1}}^{2}$-${{y}_{1}}^{2}$，x₁y₁）的轨迹方程为C．
（1）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求曲线C与直线l交点的直角坐标；
（2）若直线l₁经过点M（2，1），且与曲线C交于A，B两点，已知倾斜角为α，求点M到A，B两点的距离之积的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用圆的参数方程，结合二倍角公式，求出C的方程，直线l的方程为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，化为直角坐标方程，即可求曲线C与直线l交点的直角坐标；
（2）把直线的参数方程代入，利用参数的几何意义即可求出点M到A，B两点的距离之积的最小值．

解答 解：（1）设P（x，y），x₁=$\sqrt{2}$cosα，y₁=$\sqrt{2}sinα$，则x=${{x}_{1}}^{2}$-${{y}_{1}}^{2}$=2cos2α，y=x₁y₁=sin2α，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
直线l的方程为ρcos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直角坐标方程为x-$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0，
与$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，联立可得7x²-8$\sqrt{3}$x=0，∴x=0或$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，
∴曲线C与直线l交点的直角坐标为（0，-1）或（$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，$\frac{1}{7}$）；
（2）直线l₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，整理得
（1+3sin²α）t²+（4cosα+8sinα）t+4=0，
∴t₁t₂=$\frac{4}{1+3si{n}^{2}α}$．
∴点M到A，B两点的距离之积的最小值为1．

点评 熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式及参数的意义是解题的关键．