Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时⊥？此时的值是多少？．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

Answer 1

 解：

（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，

长半轴为2的椭圆．它的短半轴，

故曲线C的方程为．（4分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx﹣3=0，

故．（6分）

，即x₁x₂+y₁y₂=0．而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，

于是．

所以时，x₁x₂+y₁y₂=0，故．（8分）

当时，，．，

而（x₂﹣x₁）²=（x₂+x₁）²﹣4x₁x₂=，

所以．（12分）