Question

设函数f（x）=x^α-lnx，（参考数据：ln2=0.693，ln3=1.099）
（1）若α=2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）＞0恒成立，求α的取值范围；
（3）证明：1

1

1

•2

1

4

•3

1

9

…n

1

n2

＜4（n∈N₊）

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=x^α-lnx，把α=2代入f（x），对其进行求导，利用导数研究函数f（x）的单调性；
（2）已知不等式f（x）＞0恒成立，将问题转化为f（x）的最小值大于0即可，利用导数研究f（x）的最值问题，从而求解；
（3）可以利用数学归纳法进行证明，注意归纳法证明的步骤，要写清楚；

解答：解：（1）∵函数f（x）=x^α-lnx，∵α=2，
∴f′（x）=2x-

1

x

=

2x2-1

x

（x≥0）
当f′（x）＞0时，x＞

2

2

，f（x）为增函数；
当f′（x）＜0时，0＜x＜

2

2

，f（x）为减函数；
∴函数f（x）的单调增区间：（

2

2

，+∞）；
函数f（x）的单调减区间：（0，

2

2

）；
（2）∵不等式f（x）＞0恒成立，
∴f（x）的最小值大于等于0，即可，
f′（x）=αx^α-1-

1

x

，
令f′（x）=0，可得x=

α	1 α

，是惟一的极值点，也是最小值点，
f（x）_min=f（

α	1 α

）=[(

1

α

)

1

α

]^α-ln(

1

α

)

1

α

=

1

α

-

1

α

ln

1

α

=

1

α

（1-ln

1

α

）＞0，
解得α＞

1

e

；
（3）用归纳法进行证明：
当n=1，可得1＜4成立；
假设当n=k时不等式成立，即1

1

1

•2

1

4

•3

1

9

…k

1

k2

＜4成立，
那么当n=k+1时，
有1

1

1

•2

1

4

•3

1

9

…k

1

k2

•(k+1)

1

(k+1)2

＜4×(k+1)

1

(k+1)2

，
∵n

1

n2

=

n2	n

，令f（x）=x

1

x2

，两边取对数：
lnf（x）=

1

x2

lnx，（x＞0），当x＞0时，x＞lnx
两边求导

f′(x)

f(x)

=

x-lnx

x4

，可得f′（x）=

x-lnx

x4

f（x）=

x-lnx

x4

•x

1

x2

＞0，
f（x）为增函数，当x→+∞，可有

x2	x

=1，
∴0＜n

1

n2

＜1，令n=k+1，
∴0＜(k+1)

1

(k+1)2

＜1，
∴4×(k+1)

1

(k+1)2

＜4，
∴n=k+1时不等式也成立；
∴1

1

1

•2

1

4

•3

1

9

…n

1

n2

＜4即证；

点评：此题考查利用导数研究函数的单调性，第一问是特殊条件，第二问是一般条件，第三问比较难，利用数学归纳法进行证明，会比较困难，考查的知识点比较多，是一道难题．