Question

【题目】如图所示，多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，该直四棱柱的底面为菱形，其中，，，．

(1)求的长；

(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

(1)由面面平行的性质定理可知，四边形为平行四边形，以菱形对角线的交点为原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出向量坐标，再求即可；

(2)分别求出平面与底面的法向量，利用向量的夹角公式求出法向量的夹角余弦值，进而可求出平面与底面所成锐二面角的余弦值．

因为多面体是由底面为的直四棱柱被截面所截而得到的，

所以平面平面，又平面平面,平面平面,

所以，同理，所以四边形是平行四边形，

连结,交于，以为原点，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，

所以，，

所以，所以,

所以的长为.

(2)根据题意可取平面的一个法向量为，

由(1)知，，设平面的法向量为，则

由，得，即，

令，则，，所以，

所以，

所以平面与底面所成锐二面角的余弦值为.