Question

已知f（x）、g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且f（x）-g（x）=e^x
（Ⅰ）f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意用-x代替x，得f（-x）-g（-x）=e^-x，利用f（x）、g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，转化为关于
f（x）和g（x）另外一个方程，再与已知方程联列，解之可得f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）得f(x)=

ex-e-x

2

，求出其导函数，可以得出导函数在（-∞，+∞）上恒为负值，因此可得f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x），g（x）分别为R上的奇函数，偶函数f（x）-g（x）=e^x①∴f（-x）-g（-x）=e^-x∴-f（x）-g（x）=e^-x②①-②得：f(x)=

ex-e-x

2

①+②得：g(x)=-

ex+e-x

2

（Ⅱ）证明：由（1）知f(x)=

ex-e-x

2

所以 f′(x)=

1

2

(ex+e-x)＞0，即导函数在（-∞，+∞）上恒为正值
因此f（x）在（-∞，+∞）上为增函数

点评：本题考查了用函数奇偶性来求函数的解析式和利用导数研究函数的单调性，属于中档题．解决的关键是利用替换列出另外一个方程，再用函数奇偶性结合方程思想求出函数的解析式．