Question

已知A,B,C为△ABC的三个内角,向量a=(sin,cos),且|a|=.

(1)求tanAtanB的值;

(2)求C的最大值,并判断此时△ABC的形状.

Answer 1

解:(1)∵|a|=,

∴sin²+cos²=,

即·=,

即13cos(A+B)=5cos(A-B),∴4cosAcosB=9sinAsinB.

由于cosAcosB≠0,故tanAtanB=.

(2)由tanAtanB=＞0知tanA,tanB＞0,tanA+tanB≥2=,

tanC=-tan［π-(A+B)］=-tan(A+B)==(tanA+tanB)

≤·2=,

当且仅当tanA=tanB,即A=B时,tanC取得最大值.

∴C的最大值为π-arctan,此时△ABC为等腰三角形.