Question

已知实系数一元二次方程x²+px+q=0的两根分别为x₁，x₂．
（1）若上述方程的一个根x₁=4-i（i为虚数单位），求实数p，q的值；
（2）若方程的两根满足|x₁|+|x₂|=2，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，另一个根为4+i，利用一元二次方程根与系数的关系求出p和q 的值．
（2）对根的判别式分情况讨论：①当△=p²-4q＜0时，方程的两根为虚数，②当△=p²-4q≥0时，方程的两根为实数，再利用结合根系数的关系及根的分布求解即可．

解答：解：（1）根据“实系数方程虚根共轭成对出现”，知x₂=4+i，…2分
根据韦达定理，知p=-（x₁+x₂）=-8；q=x₁•x₂=17．…2分
（2）①当△=p²-4q＜0时，方程的两根为虚数，且x1=

.

x2

，
∴|x₁|=|x₂|=1，∴q=1．∴p=-（x₁+x₂）=-2Re（x₁）∈[-2，2]，
又根据△=p²-4q＜0，∴p∈（-2，2）．…3分
②（法一）当△=p²-4q≥0时，方程的两根为实数，
（2-1）当q＞0时，方程的两根同号，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；
（2-2）当q=0时，方程的一根为0，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|=|p|=2，∴p=±2；
（2-2）当q＜0时，方程的两根异号，
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=2，
∴4=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=p²-4q，
∴p²=4+4q∈[0，4），∴p∈（-2，2）．
∴当△≥0时，p∈[-2，2]．…3分
综上，p的取值范围是[-2，2]．
（法二）当△=p²-4q≥0时，方程的两根为实数，
∴|p|=|x₁+x₂|≤|x₁|+|x₂|=2，当x₁与x₂同号或有一个为0时等号取到．
特别的，取x₁=2，x₂=0时p=-2；取x₁=-2，x₂=0时p=2．
∴p∈[-2，2]．…3分
综上，p的取值范围是[-2，2]．

点评：本题考查实系数多项式虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，复数求模，判断另一个根为4+i，是解题的关键．